v prednáške nepôjde vlastne o výťah a práčku – samotný príbeh je fiktívny, i keď čiastočne vychádza zo skutočnosti – ale o to, ukázať, ako matematika môže pomôcť pri riešení konkrétnych problémov praxe
príbeh o americkej práčke: niekedy okolo polovice storočia začala v Amerike istá firma vyrábať automatické práčky. Už hneď prvý model mal mať v prototype 4 možné programy/režimy pre prácu práčky. V plánoch boli však aj práčky (zdokonalené), ktoré mali mať 8 a 16 programov. Bolo treba vymyslieť jednoduchý spôsob ovládania práčky, ktorý by bol v istom zmysle jednotný pre všetky typy.
dospelo sa k návrhu, vyriešiť ovládanie jediným kotúčom, ktorého otáčaním by sa volili príslušné programy. Technické riešenie spočívalo v umiestnení vodivých (kovových) a nevodivých polí na obvode kotúča tak, aby tieto pri jeho otáčaní vytvárali požadované kombinácie vodivých/nevodivých polí, ktoré potom zosníma a spracuje snímač:
otázka: ako zvoliť polia na kotúči, aby sme pri jeho otáčaní zosnímali postupne 4,8,16... kombinácií ? Ako to urobiť čo najefektívnejšie (koľko pozícií bude celkove na obvode) ?
pre ovládač 4-programovej práčky je riešenie ľahké:
(vidno, že otáčaním dostaneme 4 kombinácie 00,01,10,11 a použili sme 4 polia na obvode)
je potrebné vyvinúť nejakú metódu, pomocou ktorej by sme mohli takéto kotúče zostrojovať (aby sme to nemuseli zakaždým riešiť metódou pokusov a omylov)
pre 8 programov: zostrojíme si schému. Vezmeme 4 body v rovine, kt. budú predstavovať kombinácie 00,01,10,11. Ak budeme mať kombinácie XY a YZ, prislúchajúce body spojíme čiarou a označíme ju XYZ (vyznačíme aj smer čiary). Získaná schéma sa nazýva graf:
ako nám to pomôže pri konštrukcii kotúča? Budeme postupovať takto: vyberieme si ľub. Vrchol, prejdeme z neho po ľub. Hrane do iného vrchola a budeme sa snažiť prejsť po každej hrane práve raz a napokon dôjsť tam, kde sme začali (je to vlastne to isté, ako nakresliť tento obrázok jedným ťahom, pričom musíme dodržať smer šípok). Súčasne po každej hrane si pripíšeme jej koncové číslo do vytváranej postupnosti 0 a 1:
podľa vytvorenej postupnosti potom rozmiestnime polia na obvod kotúča; použili sme 8 polí, kt. nám vytvorili vš. kombinácie (ich čísla sú pri hranách)
pre 16 programov sa postupuje podobne: zostrojíme schému, kde vrcholy budú predstavovať 8 kombinácií 000 – 111 a čiary budú spájať vrchol XYZ s YZW:
opäť sa snažíme prejsť všetky hrany jedným ťahom keď si pri tom zaznamenávame posledné čísla pri označení hrán, dostaneme postupnosť, podľa ktorej zostrojíme kotúč
ľahko túto metódu možno použiť aj pri hľadaní ovládača pre 32, 64 atď. programov (stačí zostrojiť príslušnú schému a prejsť ju “jedným ťahom”)
dá sa vždy prejsť “jedným ťahom” ? Všimnime si: do každého vrchola a z každého vrchola smerujú dve šípky; matematická teória vraví, že táto podmienka stačí na to, aby sme graf vedeli prejsť jedným ťahom v smere šípok.
príbeh o americkom výťahu: v mrakodrape na 10. poschodí býval muž. Každé ráno nastúpil do výťahu, zviezol sa na prvé poschodie a šiel do práce. Keď sa vrátil z práce, nastúpil do výťahu na 1. poschodí, stlačil 3. poschodie, vyviezol sa na 3. poschodie a z neho na 10. Poschodie vyšiel po schodoch. Aké je vysvetlenie jeho správania ? [muž bol trpaslík a vyššie, než na tlačidlo 3. poschodia nedočiahol]
na odstránenie handicapu povolali firmu, vyrábajúcu práčky. Rozhodlo sa, že zmenia ovládanie výťahu, aby používalo najviac 3 tlačidlá
vymysleli ovládanie s 3 gombíkmi: +3, -4, :2. Po stlačení +3 sa výťah posunie o 3 poschodia nahor, po –4 o 4 poschodia nadol a po :2 sa počet poschodí zredukuje na polovicu. Ak nedostaneme ”rozumný” výsledok, výťah zostane stáť.
treba otestovať vlastnosti tohto výťahu pred tým, než ho postavia
zostrojíme opäť schému: vrcholy budä zodpovedať poschodiam, dva vrcholy spojíme čiarou so šípkou, ak sa z jedného poschodia vieme dostať na druhé:
otázky:
bude výťah chodiť korektne? (t.j. vieme sa z hociktorého poschodia dostať na hociktoré?)
koľko stlačení bude treba na presun medzi dvoma poschodiami? Aký bude max. počet stlačení?
